16343. Треугольники ABC
и A'B'C'
гомотетичны. Точки B'
и C'
лежат на серединных перпендикулярах к сторонам AC
и AB
соответственно. Докажите, что точка A'
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
, а центр гомотетии — на прямой Эйлера треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
и H
— соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC
.
Высоты треугольника A'B'C'
, проведённые из вершин B'
и C'
, лежат на прямых B'O
и C'O
соответственно, поэтому O
— ортоцентр треугольника A'B'C'
. Значит, высота треугольника A'B'C'
, проведённая из вершины A'
, проходит через точку O
, которая лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
треугольника ABC
(см. задачи 1256 и 1142).
При гомотетии, переводящей треугольник ABC
в треугольник A'B'C'
, ортоцентр H
треугольника ABC
переходит в ортоцентр O
треугольника A'B'C'
. Значит, центр гомотетии лежит на прямой OH
, т. е. на прямой Эйлера треугольника ABC
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2015, № 1, задача 3910, с. 42