16346. Катеты прямоугольного треугольника равны a
и b
, а гипотенуза равна c
. Докажите, что
\frac{1}{2c+a+b}+\frac{1}{c+2a+b}+\frac{1}{c+a+2b}\lt\frac{c}{2ab}.
Решение. Заметим, что
c^{2}=a^{2}+b^{2}\geqslant2ab~\mbox{и}~2a+b\geqslant2\sqrt{2ab}
(см. задачу 3399). Тогда
c(2c+a+b)=2c^{2}+c(a+b)\gt4ab+c\cdot c=4ab+c^{2}\geqslant4ab+2ab=6ab,
c(c+2a+b)=c^{2}+c(2a+b)\geqslant2ab+\sqrt{2ab}\cdot2\sqrt{2ab}=2ab+4ab=6ab.
Аналогично,
c(c+a+2b)\geqslant6ab.
Следовательно,
\frac{1}{2c+a+b}+\frac{1}{c+2a+b}+\frac{1}{c+a+2b}=
=\frac{c}{c(2c+a+b)}+\frac{c}{c(c+2a+b)}+\frac{c}{c(c+a+2b)}\lt\frac{c}{6ab}+\frac{c}{6ab}+\frac{c}{6ab}=\frac{3c}{6ab}=\frac{c}{2ab}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2015, № 7, задача 3966, с. 313