16348. Углы треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что
\frac{1}{3-2\cos\alpha}+\frac{1}{3-2\cos\beta}+\frac{1}{3-2\cos\gamma}\geqslant\frac{3}{2}.
Решение. Пусть стороны BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, противолежащие углам \alpha
, \beta
и \gamma
, равны a
, b
и c
соответственно, p
— полупериметр треугольника.
Тогда
\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos\alpha)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)=\frac{2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{4bc}=
=\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{4bc}=\frac{(a+c-b)(a+b-c)}{4bc}=\frac{(p-b)(p-c)}{bc}.
Значит,
3-2\cos\alpha=1+2(1-\cos\alpha)=1+4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1+\frac{4(p-b)(p-c)}{bc}=\frac{bc+4(p-b)(p-c)}{bc}.
Аналогично,
3-2\cos\beta=\frac{ac+4(p-a)(p-c)}{ac},~3-2\cos\gamma=\frac{ab+4(p-a)(p-b)}{ac}.
Следовательно,
\frac{1}{3-2\cos\alpha}+\frac{1}{3-2\cos\beta}+\frac{1}{3-2\cos\gamma}=
=\frac{bc}{bc+4(p-b)(p-c)}+\frac{ac}{ac+4(p-a)(p-c)}+\frac{ac}{ab+4(p-a)(p-b)}=
=3-\left(1-\frac{bc}{bc+4(p-b)(p-c)}+1-\frac{ac}{ac+4(p-a)(p-c)}+1-\frac{ab}{ab+4(p-a)(p-b)}\right)=
=3-\left(\frac{4(p-b)(p-c)}{bc+4(p-b)(p-c)}+\frac{4(p-a)(p-c)}{ac+4(p-a)(p-c)}+\frac{4(p-a)(p-b)}{ab+4(p-a)(p-b)}\right).
Значит, достаточно доказать, что
\frac{4(p-b)(p-c)}{bc+4(p-b)(p-c)}+\frac{4(p-a)(p-c)}{ac+4(p-a)(p-c)}+\frac{4(p-a)(p-b)}{ab+4(p-a)(p-b)}\leqslant\frac{3}{2}.
Поскольку (см. задачу 3399)
bc+4(p-b)(p-c)\geqslant2\sqrt{4bc(p-b)(p-c)},
ac+4(p-a)(p-c)\geqslant2\sqrt{4ac(p-a)(p-c)},
ab+4(p-a)(p-b)\geqslant2\sqrt{4ab(p-a)(p-b)},
то
\frac{4(p-b)(p-c)}{bc+4(p-b)(p-c)}+\frac{4(p-a)(p-c)}{ac+4(p-a)(p-c)}+\frac{4(p-a)(p-b)}{ab+4(p-a)(p-b)}\leqslant
\leqslant\frac{4(p-b)(p-c)}{2\sqrt{4bc(p-b)(p-c)}}+\frac{4(p-a)(p-c)}{2\sqrt{4ac(p-a)(p-c)}}+\frac{4(p-a)(p-b)}{2\sqrt{4ab(p-a)(p-b)}}=
=\frac{(p-b)(p-c)}{\sqrt{bc(p-b)(p-c)}}+\frac{(p-a)(p-c)}{\sqrt{ac(p-a)(p-c)}}+\frac{(p-a)(p-b)}{\sqrt{ab(p-a)(p-b)}}=
=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}+\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{ac}}+\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}=
=\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3}{2}
(см. задачу 4157б). Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2015, № 8, задача 3977, с. 361