16349. Высоты, опущенные на стороны треугольника со сторонами a
, b
и c
, равны h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
соответственно, r
— радиус вписанной окружности треугольника. Докажите, что
\frac{h_{a}-2r}{h_{a}+2r}+\frac{h_{b}-2r}{h_{b}+2r}+\frac{h_{c}-2r}{h_{c}+2r}\geqslant\frac{3}{5}.
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника, S
— площадь. Тогда
S=\frac{ah_{a}}{2}=\frac{bh_{b}}{2}=\frac{ch_{c}}{2}=pr,
поэтому
\frac{h_{a}-2r}{h_{a}+2r}=\frac{\frac{2pr}{a}-2r}{\frac{2pr}{a}+2r}=\frac{p-a}{p+a}=\frac{2p}{p+a}-1.
Аналогично,
\frac{h_{b}-2r}{h_{b}+2r}=\frac{2p}{p+b}-1,~\frac{h_{c}-2r}{h_{c}+2r}=\frac{2p}{p+a}-1.
Значит,
\frac{h_{a}-2r}{h_{a}+2r}+\frac{h_{b}-2r}{h_{b}+2r}+\frac{h_{c}-2r}{h_{c}+2r}\geqslant\frac{3}{5}~\Leftrightarrow~\frac{2p}{p+a}-1+\frac{2p}{p+b}-1+\frac{2p}{p+b}-1\geqslant\frac{3}{5}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{2p}{p+a}+\frac{2p}{p+b}+\frac{2p}{p+b}\geqslant\frac{18}{5}~\Leftrightarrow~\frac{1}{p+a}+\frac{1}{p+b}+\frac{1}{p+c}\geqslant\frac{9}{5p}.
Последнее неравенство верно, так как (см. примечание к задаче 3399)
\frac{\frac{1}{p+a}+\frac{1}{p+b}+\frac{1}{p+c}}{3}\geqslant\frac{1}{\frac{(p+a)+(p+b)+(p+c)}{3}}=\frac{3}{3p+2p}=\frac{3}{5},
откуда
\frac{1}{p+a}+\frac{1}{p+b}+\frac{1}{p+c}\geqslant\frac{9}{5p}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2015, № 10, задача 3993, с. 449