1637. В треугольник ABC
вписана полуокружность, диаметр которой лежит на стороне BC
. Стороны AB
и AC
касаются полуокружности в точках C_{1}
и B_{1}
соответственно. Докажите, что прямые BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются на высоте треугольника.
Указание. Пусть O
— центр полуокружности. Треугольник ABA_{1}
подобен треугольнику OBC_{1}
, а треугольник ACA_{1}
— треугольнику OCB_{1}
. Далее примените теорему Чевы (см. задачу 1621).
Решение. Пусть O
— центр полуокружности. Из подобия треугольников ABA_{1}
и OBC_{1}
следует, что \frac{BA_{1}}{AB}=\frac{C_{1}B}{OB}
, а из подобия треугольников ACA_{1}
и OCB_{1}
— \frac{A_{1}C}{AC}=\frac{CB_{1}}{OC}
. Разделив почленно полученные равенства, получим, что
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{C_{1}B}{CB_{1}}\cdot\frac{OC}{OB},
а так как \frac{AC}{AB}=\frac{OC}{OB}
(AO
— биссектриса треугольника ABC
), то \frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{C_{1}B}{CB_{1}}
, или \frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{C_{1}B}=1
. Поэтому
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{AC_{1}}{B_{1}A}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) отрезки BB_{1}
, CC_{1}
и AA_{1}
пересекаются в одной точке.