16382. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Точка D
лежит на прямой AB
, а O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников ADC
и DBC
. Докажите, что ортоцентр треугольника O_{1}DO_{2}
лежит на прямой, проходящей через точку O
параллельно AB
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников ADC
и DBC
соответственно, а H
— точка пересечения отрезка CD
с прямой, проходящей через точку O
параллельно AB
. Достаточно доказать, что H
— ортоцентр треугольника O_{1}DO_{2}
.
Отрезок CD
— общая хорда описанных окружностей треугольников ADC
и DBC
, поэтому CD\perp O_{1}O_{2}
. Значит, DH\perp O_{1}O_{2}
. Осталось доказать что O_{2}H\perp O_{1}D
.
Пусть H'
— точка пересечения прямых O_{2}H
и O_{1}D
. Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Докажем, что \angle HH'D=90^{\circ}
.
Центральный угол DO_{1}C
описанной окружности треугольника ADC
равен 2\alpha
. Тогда половина угла при вершине O_{1}
равнобедренного треугольника CO_{1}D
равна \alpha
, поэтому
\angle CDO_{1}=\angle DCO_{1}=90^{\circ}-\alpha.
Таким образом, осталось доказать, что
\angle DHH'=\angle CHO_{2}=\alpha.
Пусть прямая OH
пересекает сторону BC
в точке P
. Тогда из параллельности \angle OPC=\angle ABC=\beta
. Заметим, что \angle O_{2}OC=\alpha
как половина равного 2\alpha
центрального угла BOC
описанной окружности треугольника ABC
, поэтому достаточно доказать, что четырёхугольник OHO_{2}C
вписанный. Это так, поскольку OO_{2}\perp BC
, а поэтому
\angle HOO_{2}=\angle POO_{2}=90^{\circ}-\angle OPC=90^{\circ}-\beta
и
\angle HCO_{2}=\angle DCO_{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DOC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DOC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot2\beta=
=90^{\circ}-\beta=\angle HOO_{2}.
Значит (см. задачу 12), точки O
, H
, O_{2}
и C
лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle DHH'=\angle CHO_{2}=\angle CO_{1}O_{2}=\frac{1}{2}\angle CO_{1}D=\frac{1}{2}\cdot2\alpha=\alpha.
Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 7, задача 4518, с. 327