16384. Пусть M
— произвольная точка плоскости прямоугольника ABCD
, в котором AB=CD=a
и AD=BC=b
. Найдите наименьшее значение отношения \frac{MA+MC}{MB+MD}
.
Ответ. \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b}
.
Решение. По неравенству Птолемея (см. задачу 10938) из четырёхугольников ABCM
и ADCM
получаем
AC\cdot MB\leqslant MC\cdot AB+MA\cdot BC=a\cdot MC+b\cdot MA,
AC\cdot MD\leqslant MC\cdot AD+MA\cdot DC=b\cdot MC+a\cdot MA.
Сложив эти неравенства, получим
AC(MB+MD)\leqslant(a+b)(MA+MC).
Следовательно,
\frac{MA+MC}{MB+MD}\geqslant\frac{AC}{a+b}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b},
причём равенство достигается, если точка M
совпадает с A
или C
.
Примечание. В частности, если ABCD
— квадрат, то ответ \frac{1}{\sqrt{2}}
(см. задачу 2274).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 8, задача 4528, с. 431