2274. На плоскости дан квадрат ABCD
. Найдите минимум частного \frac{OA+OC}{OB+OD}
, где O
— произвольная точка плоскости.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Указание. Для любого прямоугольника ABCD
и любой точки O
верно равенство OA^{2}+OC^{2}=OB^{2}+OD^{2}
(см. задачу 2169).
Решение. Известно, что для любого прямоугольника ABCD
и любой точки O
в плоскости этого прямоугольника OA^{2}+OC^{2}=OB^{2}+OD^{2}
(см. задачу 2169).
Докажем, что \frac{OA+OC}{OB+OD}\geqslant\frac{1}{\sqrt{2}}
, или \sqrt{2}(OA+OC)\geqslant OB+OD
. Действительно,
\sqrt{2}(OA+OC)\geqslant OB+OD~\Leftrightarrow~(\sqrt{2}(OA+OC))^{2}\geqslant(OB+OD)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2(OA^{2}+2OA\cdot OC+OC^{2})\geqslant OB^{2}+2OB\cdot OD+OD^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~OA^{2}+4OA\cdot OC+OC^{2}\geqslant2OB\cdot OD.
Последнее неравенство очевидно, так как OA^{2}+OC^{2}=OB^{2}+OD^{2}\geqslant2OB\cdot OD
.
Если точка O
совпадает с вершиной A
, получим, что \sqrt{2}AC=2AB
, или
\frac{OA+OC}{OB+OD}=\frac{AC}{2AB}=\frac{\sqrt{2}AB}{2AB}=\frac{1}{\sqrt{2}},
поэтому значение \frac{1}{\sqrt{2}}
достигается. Следовательно, минимальное значение дроби \frac{OA+OC}{OB+OD}
равно \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Автор: Перлин А. Е.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1993, отборочный тур, 10 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 93.52