16386. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, E
— точка, симметричная H
относительно середины D
стороны BC
. Прямая, перпендикулярная прямой DE
, пересекает стороны AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что
HX\cdot EC+YC\cdot HE=EX\cdot BE.
Решение. Заметим, что точка E
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, AE
— диаметр этой окружности, а BECH
параллелограмм (см. задачу 6300).
Пусть \angle ABC=\alpha
. Из точек C
и H
отрезок EY
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром EY
, поэтому
\angle YEH=\angle YCH=90^{\circ}-\alpha.
Аналогично докажем, что
\angle XEH=\angle XBH=90^{\circ}-\alpha=\angle YEH.
Треугольник XEY
равнобедренный с основанием XY
, так как его высота EH
является биссектрисой, поэтому EY=EX
и HX=HY
.
Применив теорему Птолемея к вписанному четырёхугольнику ECYH
, получим
HX\cdot EC+YC\cdot HE=HY\cdot EC+YC\cdot HE=EY\cdot HC=EX\cdot BE
(HC=BE
как противоположные стороны параллелограмма). Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 9, задача 4535, с. 471