1639. Докажите, что биссектрисы двух внутренних углов неравнобедренного треугольника и биссектриса внешнего угла, не смежного с ними, пересекают прямые, содержащие противоположные этим углам стороны треугольника, в точках, лежащих на одной прямой.
Решение. Пусть биссектрисы внутренних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
пересекают стороны AC
и AB
в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно, а биссектриса внешнего угла при вершине A
пересекает прямую BC
в точке A_{1}
.
Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. По свойству биссектрис внутренних и внешних углов треугольника
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},~\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c},~\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},
поэтому
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}\cdot\frac{a}{c}=1.
Следовательно, по теореме Менелая (см. задачу 1622) точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой.
