16394. Стороны треугольника равны a
, b
и c
, а противолежащие им углы равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Докажите, что треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда
a\sin(\alpha-60^{\circ})+b\sin(\beta-60^{\circ})+c\sin(\gamma-60^{\circ})=0.
Решение. Очевидно, что для равностороннего треугольника данное равенство верно.
Докажем, что из этого равенства следует, что треугольник равносторонний.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника. Поскольку для любого x
верно равенство
\sin(x-60^{\circ})=\sin x\cos60^{\circ}-\cos x\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}(\sin x-\sqrt{3}\cos x),
получаем
a\sin(\alpha-60^{\circ})+b\sin(\beta-60^{\circ})+c\sin(\gamma-60^{\circ})=0~\Rightarrow
\Rightarrow~a\sin\alpha+b\sin\beta+c\sin\gamma=\sqrt{3}(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)~\Rightarrow
\Rightarrow~2R\sin^{2}\alpha+2R\sin^{2}\beta+2R\sin\gamma=\sqrt{3}(R\sin2\alpha+R\sin2\beta+R\sin2\gamma)~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=\frac{\sqrt{3}}{2}(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma).
Заметим, что
\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma=
=2\sin(180^{\circ}-\gamma)\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos(180^{\circ}-\alpha-\beta)=
=2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta)-2\sin\gamma\cos(\alpha+\beta)=2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))=
=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=4\cdot\frac{a}{2R}\cdot\frac{b}{2R}\cdot\frac{c}{2R}=\frac{abc}{2R^{3}}=\frac{2S}{R^{2}},
где S
— площадь треугольника (см. задачу 4259), а так как
\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=\frac{a^{2}}{R^{2}}+\frac{b^{2}}{R^{2}}+\frac{c^{2}}{R^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4R^{2}},
то
a^{2}+b^{2}+c^{2}=4R^{2}(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma)=4R^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma)=
=4R^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2S}{R^{2}}=4\sqrt{3}S.
В то же время (см. задачу 3227),
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant4\sqrt{3}S,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2021, № 6, задача 4604, с. 315