16396. Дан вписанный шестиугольник ABCDEF
, в котором диагонали AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке, и
\frac{1}{3}(AF+BC+DE)=AB=CD=EF.
Докажите, что шестиугольник ABCDEF
правильный.
Решение. Пусть хорды AD
, BE
и CF
пересекаются в точке O
. Тогда
\angle ABO=\angle ABE=\angle ADE=\angle ODE,
а так как \angle AOB=\angle EOD
как вертикальные углы, то треугольники ABO
и EDO
подобны. Значит,
\frac{AB}{ED}=\frac{AO}{EO}.
Аналогично,
\frac{CD}{AF}=\frac{CO}{AO}~\mbox{и}~\frac{EF}{CB}=\frac{EO}{CO}.
Тогда
\frac{AB\cdot CD\cdot EF}{CB\cdot AF\cdot DE}=\frac{AB}{DE}\cdot\frac{CD}{AF}\cdot\frac{EF}{CB}=\frac{AO}{EO}\cdot\frac{CO}{AO}\cdot\frac{EO}{CO}=1,
откуда
CB\cdot AF\cdot DE=AB\cdot CD\cdot EF=AB^{3}.
Значит,
\frac{AF+BC+DE}{3}=AB=\sqrt[{3}]{{AF\cdot BC\cdot DE}}.
В то же время, среднее арифметическое положительных чисел AF
, BC
и DE
не меньше их среднего геометрического (см. примечание к задаче 3399), т. е.
\frac{AF+BC+DE}{3}\geqslant\sqrt[{3}]{{AF\cdot BC\cdot DE}},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда AF=BC=DE
.
Таким образом, все стороны вписанного шестиугольника ABCDEF
равны. Следовательно, этот шестиугольник правильный. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2022, № 2, задача 4664, с. 104