16397. Точка E
лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
. Проведены биссектрисы EF
, EG
, EH
и EI
треугольников ABE
, BCE
, CDE
и DEA
соответственно. Докажите, что
\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BG}{GC}\cdot\frac{CH}{HD}\cdot\frac{DI}{IA}=1.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AF}{FB}=\frac{EA}{EB},~\frac{BG}{GC}=\frac{EB}{EC},~\frac{CH}{HD}=\frac{EC}{ED},~\frac{DI}{IA}=\frac{ED}{EA}.
Перемножив эти равенства, получаем
\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BG}{GC}\cdot\frac{CH}{HD}\cdot\frac{DI}{IA}=\frac{EA}{EB}\cdot\frac{EB}{EC}\cdot\frac{EC}{ED}\cdot\frac{ED}{EA}=1.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2022, № 3, задача 4676, с. 173