16400. Радиус R
описанной окружности треугольника ABC
равен \sqrt{2}
, а углы \alpha
, \beta
и \gamma
при вершинах соответственно A
, B
и C
удовлетворяют условию 2\sin\alpha+3\cos\beta\cos\gamma=4
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. \frac{16}{25}
.
Решение. Пусть \varphi=\arcsin\frac{3}{5}
. Тогда
8=4\sin\alpha+6\cos\beta\cos\gamma=4\sin\alpha+3(\cos(\beta+\gamma)+\cos(\beta-\gamma))=
=4\sin\alpha-3\cos\alpha+3\cos(\beta-\gamma)=5\left(\sin\alpha\cdot\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot\cos\alpha\right)+3\cos(\beta-\gamma)=
=5(\sin\alpha\cos\varphi-\sin\varphi\cos\alpha)+3\cos(\beta-\gamma)=
=5\sin(\alpha-\varphi)+3\cos(\beta-\gamma)\leqslant5+3=8,
причём равенство достигается только в случае, когда
\sin(\alpha-\varphi)=\cos(\beta-\gamma)=1,
т. е. когда
\alpha=90^{\circ}+\varphi~\mbox{и}~\beta=\gamma=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}.
Значит,
\sin\alpha=\cos\varphi=\frac{4}{5}~\mbox{и}~\cos\alpha=-\sin\varphi=-\frac{3}{5}.
Тогда
\sin\beta\sin\gamma=\sin^{2}\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1-\frac{3}{5}}{2}=\frac{1}{5}.
Следовательно (см. задачу 4258),
S_{\triangle ABC}=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=2\cdot2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{16}{25}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2023, № 1, задача 4754, с. 51