16403. Точка D
лежит на продолжении стороны AC
треугольника ABC
за вершину A
, причём AD=AB
. Биссектриса угла BAC
пересекает сторону BC
в точке E
, а прямая, проходящая через вершину C
и середину F
отрезка AE
, пересекает сторону AB
в точке G
. Докажите, что точки D
, G
и E
лежат на одной прямой.
Решение. По теореме Менелая для треугольника AB
и прямой CF
(если не считать отрезки направленными) получаем
\frac{AG}{GB}\cdot\frac{BC}{CE}\cdot\frac{EF}{FA}=1,
а так как EF=FA
, то
\frac{AG}{GB}=\frac{EC}{BC}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CA}=\frac{AD}{AC}~\Rightarrow~\frac{BE}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}=\frac{AB}{AD+AC}=\frac{AB}{CD}.
Тогда
\frac{AG}{GB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CD}{DA}=\frac{EC}{BC}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CD}{DA}=\frac{BE}{BC}\cdot\frac{CD}{DA}=\frac{AB}{CD}\cdot\frac{CD}{DA}=1.
Из условия следует, что точки F
и G
лежат на сторонах AE
и AB
треугольника ABC
, а точка D
— на продолжении стороны AC
за точку A
. Следовательно, по теореме Менелая точки D
, G
и E
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2023, № 4, задача 4784, с. 221