16417. Углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что если
\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma=\sqrt{3},
то треугольник равносторонний.
Решение. Поскольку \alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}
, то
\ctg\alpha=\ctg(180^{\circ}-\beta-\gamma)=-\ctg(\beta+\gamma)=\frac{1-\ctg\beta\ctg\gamma}{\ctg\beta\ctg\gamma}.
Обозначим \ctg\beta=b
и \ctg\gamma=c
. Тогда
\sqrt{3}=\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma=\frac{1-bc}{b+c}+b+c~\Rightarrow
\Rightarrow~(b+c)^{2}-\sqrt{3}(b+c)+bc-1=0~\Rightarrow~b^{2}+b(c-\sqrt{3})+c^{2}-c\sqrt{3}-1=0~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{\sqrt{3}-c\pm\sqrt{(c-\sqrt{3})^{2}-4(c^{2}-c\sqrt{3}-1)}}{2}=\frac{\sqrt{3}-c\pm\sqrt{c^{2}-2c\sqrt{3}-4c^{2}+4c\sqrt{3}+4}}{2}=
=\frac{\sqrt{3}-c\pm\sqrt{(-3c^{2}+2c\sqrt{3}-1)}}{2}=\frac{\sqrt{3}-c\pm\sqrt{-(c\sqrt{3}-1)^{2}}}{2}.
Значит,
(c\sqrt{3}-1)^{2}=0~\Rightarrow~\ctg\gamma=c=\frac{1}{\sqrt{3}}~\Rightarrow~\gamma=60^{\circ}.
Аналогично, \alpha=60^{\circ}
и \beta=60^{\circ}
. Следовательно, треугольник равносторонний. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также задачу 3252а.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1940, том 14, № 6, задача 318, с. 349