3252. Докажите, что если углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, то:
\mbox{а)}~\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma\geqslant\sqrt{3};~\mbox{б)}~\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\geqslant\sqrt{3}.
Решение. а) Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, противолежащие углам, равным \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, S
— площадь треугольника. Применив равенство
\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}
(см. задачу 3248) и неравенство
S\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\sqrt{3}}
(см. задачу 3227), получим, что
\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}\geqslant\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{3}.
Что и требовалось доказать.
б)
Первый способ. Рассмотрим треугольник с углами \frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}
, \frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}
и \frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}
. По доказанному
\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)+\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}\right)+\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}\right)\geqslant\sqrt{3}.
Следовательно,
\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\geqslant\sqrt{3}.
(см. задачу 3250). Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть x
, y
и z
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон противолежащих углам, равным \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда (см. задачу 11161)
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{\sqrt{xy+xz+yz}},~\tg\frac{\beta}{2}=\frac{y}{\sqrt{xy+xz+yz}},~\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{z}{\sqrt{xy+xz+yz}}.
Значит,
\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\geqslant\sqrt{3}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{x}{\sqrt{xy+xz+yz}}+\frac{y}{\sqrt{xy+xz+yz}}+\frac{z}{\sqrt{xy+xz+yz}}\geqslant\sqrt{3}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(x+y+z)^{2}\geqslant3(xy+xz+yz)~\Leftrightarrow~x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant xy+xz+yz\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}\geqslant2xy+2xz+2yz\Leftrightarrow~(x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}\geqslant0.
Примечание. См. также статью В.Дроздова «Треугольник и классические неравенства», Квант, 2019, N8, с.40-41.