16420. Через точку P
, лежащую на диагонали AC
ромба ABCD
с углом 60^{\circ}
при вершине A
, проведена прямая, параллельная стороне BC
и пересекающая стороны AB
и CD
в точках E
и F
соответственно, а также прямая, параллельная стороне AB
и пересекающая стороны AD
и BC
в точках G
и H
соответственно.
а) Докажите, что точки E
, B
, H
, F
, D
и G
лежат на одной окружности.
б) Докажите, что треугольники EHD
и BFG
равносторонние, а их центры совпадают.
в) Выразите радиус окружности из пункта а) через AP
и PC
.
Ответ. в) \frac{1}{3}\sqrt{AP^{2}+AP\cdot PC+PC^{2}}
.
Решение. а) Из симметрии ромба относительно прямой AC
получаем, что EG\parallel BD
. Треугольники AEG
и ABD
равносторонние, поэтому BEGD
и BEGH
— равнобедренные трапеции. Значит, около них можно описать окружности (см. задачу 5003). Эти окружности совпадают, так как обе они проходят через точки B
, E
и G
. Аналогично, описанная окружность равнобедренной трапеции DFEG
совпадает с описанной окружностью равнобедренной трапеции BEGD
. Следовательно, все шесть точек E
, B
, H
, F
, D
и G
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
б) Пусть прямые GH
и EF
пересекают диагональ BD
в точках K
и L
соответственно. Треугольники BEG
и DKH
по двум сторонам и углу между ними, так как EG=BH=KH
, BE=DG=DK
и \angle BEG=120^{\circ}=\angle DKH
. Значит, BG=DH
. Аналогично, BG=GF
. Следовательно, треугольник BFG
равносторонний. Аналогично, треугольник DEH
равносторонний.
Эти два треугольника вписаны в одну и ту же окружность, значит, их центры совпадают. Что и требовалось доказать.
в) Пусть AB=2a
, AP=2b
, а радиус окружности (см. пункт а)) равен R
. Тогда
AC=2a\sqrt{3},~PC=AC-AP=2a\sqrt{3},~AE=\frac{2b\sqrt{3}}{3}.
По теореме косинусов
ED^{2}=AE^{2}+AD^{2}-2AE\cdot AD\cos60^{\circ}=\frac{4}{3}(b^{2}+3a^{2}-ab\sqrt{4}).
По теореме синусов
R=\frac{EF}{2\sin60^{\circ}}=\frac{EF}{\sqrt{3}}~\Rightarrow~R^{2}=\frac{1}{3}ED^{2}=4(b^{2}+3a^{2}-ab\sqrt{4}),
поэтому
9R^{2}=12(b^{2}+3a^{2}-ab\sqrt{4})=(2a\sqrt{3}-2b)^{2}+4ab\sqrt{3}=PC^{2}+AP\cdot AC.
Следовательно,
R=\frac{1}{3}\sqrt{AP^{2}+AP\cdot PC+PC^{2}}.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1941, том 15, № 4, задача 364, с. 205