16421. Постройте треугольник по центру его описанной окружности и центрам двух вневписанных окружностей.
Решение. Пусть O
— данный центр описанной окружности искомого треугольника ABC
, а I_{a}
и I_{b}
— центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам A
и B
.
Описанная окружность треугольника ABC
— это окружность девяти точек остроугольного треугольника с вершинами в центрах его вневписанных окружностей, поэтому середина M
отрезка I_{a}I_{b}
лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 897), а тогда радиус описанной окружности искомого треугольника равен отрезку OM
. Поскольку A
— точка пересечения биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника ABC
, то \angle I_{a}AI_{b}=90^{\circ}
. Аналогично, \angle I_{a}BI_{b}=90^{\circ}
. Из точек A
и B
отрезок I_{a}I_{b}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром I_{a}I_{b}
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим середину M
данного отрезка I_{a}I_{b}
. С центром в данной точке O
строим окружность радиусом OM
. Затем строим окружность на отрезке I_{a}I_{b}
как на диаметре. Общая хорда двух построенных окружностей есть сторона AB
искомого треугольника, а его вершина C
— вторая точка пересечения первой окружности с прямой I_{a}I_{b}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1941, том 16, № 1, задача 392, с. 45