897. Точки I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
, I
— центр вписанной окружности этого треугольника. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC
проходит через середины сторон треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
и середины отрезков II_{a}
, II_{b}
и II_{c}
.
Указание. Окружность, описанная около треугольника ABC
, есть окружность девяти точек треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 174).
Решение. Заметим, что точки A
, B
и C
— основания высот треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769), поэтому окружность, описанная около треугольника ABC
, есть окружность девяти точек треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 174). Значит, эта окружность проходит через середины сторон треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
.
Поскольку I_{a}A
, I_{b}B
, I_{c}C
— высоты треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
, точка I
— ортоцентр этого треугольника. Следовательно, описанная окружность треугольника ABC
проходит и через середины отрезков II_{a}
, II_{b}
и II_{c}
.
Примечание. Из доказанного утверждения следует теорема Мансиона: отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам (см. задачу 57).