16430. Докажите, что если медианы треугольника пропорциональны сторонам, к которым они проведены, то треугольник равносторонний.
Решение. Пусть медианы треугольника, проведённые из вершин углов, противолежащих сторонам, равным a
, b
и c
, равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно, и
\frac{m_{a}}{a}=\frac{m_{b}}{b}=\frac{m_{c}}{c}.
Тогда (см. задачу 4014)
\frac{m_{a}}{a}=\frac{m_{b}}{b}~\Leftrightarrow~\frac{4m_{a}^{2}}{a^{2}}=\frac{4m_{b}^{2}}{b^{2}}~\Leftrightarrow~\frac{(2b^{2}+2c^{2})-a^{2}}{a^{2}}=\frac{(2a^{2}+2c^{2})-b^{2}}{b^{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{2}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})=b^{2}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})~\Leftrightarrow~2a^{4}+2a^{2}c^{2}=2b^{4}+2b^{2}c^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{4}-b^{4}+c^{2}(a^{2}-b^{2})=0~\Leftrightarrow~(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})+c^{2}(a^{2}-b^{2})~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})=0,
а так как a^{2}+b^{2}+c^{2}\gt0
, то
a^{2}=b^{2}~\Rightarrow~a=b.
Аналогично, a=c
, поэтому b=a=c
. Следовательно, треугольник равносторонний. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1948, том 21, № 4, задача 3, с. 231