16432. Пусть AA'
и BB'
— соответственно высота и медиана треугольника ABC
с углами при вершинах A
, B
и C
, равными \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а CC'
— либо биссектриса треугольника, либо его внешняя биссектриса. Докажите, что прямые AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда \frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\pm\tg\gamma
.
Решение. Пусть CC'
— биссектриса треугольника ABC
и \frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\tg\gamma
.
Применив теорему синусов, получим
\frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\frac{\frac{BC\sin\beta}{AC}}{\cos\beta}=\frac{BC}{AC}\tg\beta=\frac{BC}{AC}\cdot\frac{AA'}{BA'},
а так как \tg\gamma=\frac{AA'}{A'C}
, то
\frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\tg\gamma~\Leftrightarrow~\frac{BC}{AC}\cdot\frac{AA'}{BA'}=\frac{AA'}{A'C}~\Leftrightarrow~\frac{BA'}{A'C}=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{2B'C}.
Пусть прямые AA'
и BB'
пересекаются в точке O
. На продолжении медианы BB'
за точку B'
отложим отрезок B'D=OB'
. Тогда AOCD
— параллелограмм, поэтому AA'\parallel DC
. Тогда по теореме Фалеса
\frac{BA'}{A'C}=\frac{BO}{OD}=\frac{BO}{2OB'}.
Значит, если условие \frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\tg\gamma
выполняется, то \frac{BC}{B'C}=\frac{BO}{OB'}
. Следовательно, луч CO
— биссектриса угла ACB
(см. задачу 1510), и прямые AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в одной точке.
Обратно, если прямая CC'
проходит через точку O
, то
\frac{BC}{B'C}=\frac{BO}{OB'}~\Rightarrow~\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{2B'C}=\frac{1}{2}\frac{BC}{B'C}=\frac{1}{2}\frac{BO}{OB'}=\frac{BO}{2OB'}=\frac{BO}{OD}=\frac{BA'}{A'C}.
Тогда
\frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot\tg\beta=\frac{BC}{AC}\cdot\frac{AA'}{BA'}=\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{AA'}{BA'}=\frac{AA'}{A'C}=\tg\gamma.
Следовательно, прямые AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда \frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\tg\gamma
.
Если CC'
— внешняя биссектриса, аналогично получим, что прямые AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда \frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=-\tg\gamma
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1950, том 23, № 5, задача 43, с. 275