16439. Построение стороны правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность. К данной окружности с центром O
проведена касательная в точке T
. На ней отложен отрезок TA=2OT
. Отрезок AO
пересекает окружность в точке C
, а M
— середина AC
. С центром в точке C
проведена окружность радиуса CM
, пересекающая данную окружность в точках P
и P'
. Докажите, что PP'
— сторона правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность.
Решение. Пусть радиус данной окружности равен r
. Достаточно доказать, что CP=CP'
— сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса r
, т. е.
CP=CP'=2r\sin18^{\circ}=\frac{r(\sqrt{5}-1)}{2}
(см. задачу 1494).
Из прямоугольного треугольника ATO
находим, что AO=r\sqrt{5}
. Тогда
CA=AO-OC=r(\sqrt{5}-1)~\Rightarrow~CP'=CP=CM=\frac{1}{2}CA=\frac{1}{2}r(\sqrt{5}-1).
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1954, том 27, № 4, задача 176, с. 221