16443. В треугольнике ABC
проведена медиана AD
. Точка E
— проекция вершины C
на прямую AD
, а \angle ACE=\angle ABC
. Докажите, что либо AB=AC
, либо \angle BAC=90^{\circ}
.
Решение. Если точка E
совпадает с D
, то треугольник ABC
равнобедренный, так как его высота является медианой. Следовательно, в этом случае AB=AC
.
Пусть точки D
и E
различны. Тогда AB\ne AC
. Проведём высоту AM
треугольника ABC
. Обозначим \angle ACE=\angle ABC=\beta
. Тогда
\angle BAM=90^{\circ}-\beta~\mbox{и}~\angle CAE=90^{\circ}-\angle ACE=90^{\circ}-\beta=\angle BAM.
Тогда центр O
вписанной окружности треугольника ABC
лежит на луче AE
(см. задачу 20). В то же время, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Значит, точка O
лежит на стороне BC
, т. е. BC
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, \angle BAC=90^{\circ}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1955, том 29, № 2, задача 229, с. 108