16454. На медиане AM
треугольника ABC
отмечена произвольная точка O
. Продолжения отрезков BO
и CO
пересекают стороны AC
и AB
в точках E
и F
соответственно. Докажите, что если AB\gt AC
, то BE\gt CF
.
Решение. По теореме Чевы
\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BF}{FA}=1~\Rightarrow~\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{FB},
поэтому EF\parallel BC
. Тогда треугольник COB
подобен треугольнику FOE
, значит,
\frac{FO}{OC}=\frac{OE}{OB}~\Rightarrow~\frac{BE}{OB}=\frac{CF}{OC}.
В треугольниках AMB
и AMC
с общей стороной AM
известно, что BM=CM
, а AB\gt AC
, поэтому \angle AMB\gt\angle AMC
(см. задачу 3606). Тогда в треугольниках OMB
и OMC
с общей стороной OM
известно, что MB=MC
, а \angle BMO\gt\angle CMO
, поэтому OB\gt OC
(см. задачу 3606). Следовательно,
OB\cdot\frac{BE}{OB}\gt OC\cdot\frac{CF}{OC},~\mbox{или}~BE\gt CF.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1965, том 38, № 1, задача 555, с. 57