16460. В треугольнике A_{1}A_{2}A_{3}
проведены медианы A_{1}O_{1}
, A_{2}O_{2}
, A_{3}O_{3}
и высоты A_{1}H_{1}
, A_{2}H_{2}
, A_{3}H_{3}
. Докажите, что
O_{1}H_{2}+O_{2}H_{3}+O_{3}H_{1}=H_{1}O_{2}+H_{2}O_{3}+H_{3}O_{1}.
Решение. Отрезок O_{1}H_{2}
— медиана прямоугольного треугольника A_{2}H_{2}A_{3}
, проведённая из вершины прямого угла поэтому (см. задачу 1109) O_{1}H_{2}=\frac{1}{2}A_{2}A_{3}
. Аналогично,
O_{2}H_{3}=\frac{1}{2}A_{1}A_{3},~O_{3}H_{1}=\frac{1}{2}A_{1}A_{2},
H_{1}O_{2}=\frac{1}{2}A_{1}A_{3},~H_{2}O_{3}=\frac{1}{2}A_{1}A_{2},~H_{3}O_{1}=\frac{1}{2}A_{2}A_{3}.
Следовательно,
O_{1}H_{2}+O_{2}H_{3}+O_{3}H_{1}=H_{1}O_{2}+H_{2}O_{3}+H_{3}O_{1}.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1967, том 40, № 4, задача 648, с. 228