16461. Прямая, проходящая через ортоцентр и центр описанной окружности треугольника, параллельна его стороне. Докажите, что углы треугольника в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Пусть углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, а прямая, проходящая через ортоцентр и центр описанной окружности треугольника, параллельна стороне, противолежащей углу \alpha
. Тогда \tg\beta\cdot\tg\gamma=3
(см. задачу 4891). Значит,
\tg\alpha=\tg(180^{\circ}-\beta-\gamma)=-\tg(\beta+\gamma)=\frac{\tg\beta+\tg\gamma}{\tg\beta\tg\gamma-1}=\frac{\tg\beta+\tg\gamma}{2}.
Следовательно, числа \tg\beta
, \tg\alpha
, \tg\gamma
образую арифметическую прогрессию.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1969, том 42, № 2, задача 702, с. 100