4891. Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC
параллельна стороне BC
тогда и только тогда, когда \tg B\tg C=3
.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы при вершинах соответственно A
, B
и C
треугольника ABC
. Пусть высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке H
, A_{2}
— середина стороны BC
, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, M
— точка пересечения медиан.
Пусть прямая OH
(прямая Эйлера треугольника ABC
, см. задачу 5044) параллельна стороне BC
.
По теореме о пропорциональных отрезках \frac{HA_{1}}{AA_{1}}=\frac{MA_{2}}{AA_{2}}=\frac{1}{3}
.
Из прямоугольных треугольников AA_{1}B
и HA_{1}B
находим, что
BA_{1}=AA_{1}\ctg\beta,~BA_{1}=HA_{1}\ctg(90^{\circ}-\gamma)=\frac{1}{3}AA_{1}\tg\gamma.
Из равенства AA_{1}\ctg\beta=\frac{1}{3}AA_{1}\tg\gamma
следует, что
\tg\beta\tg\gamma=3.
Пусть теперь известно, что \tg\beta\tg\gamma=3
. Тогда из равенств BA_{1}=AA_{1}\ctg\beta
и BA_{1}=HA_{1}\tg\gamma
следует
\frac{HA_{1}}{AA_{1}}=\frac{\ctg\beta}{\tg\gamma}=\frac{1}{\tg\beta\tg\gamma}=\frac{1}{3},
а так как \frac{MA_{2}}{AA_{2}}=\frac{1}{3}
, то A_{1}A_{2}\parallel HM
, т. е. OH\parallel BC
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Если в треугольнике ABC
известно, что \tg B\tg C=3
, то можно доказать, что он остроугольный: углы B
и C
оба острые, а угол A
острый, так как в этом случае из равенства \tg A+\tg B+\tg C=\tg A\tg B\tg C
(см. задачу 3277) следует, что \tg A=\frac{1}{2}(\tg B+\tg C)\gt0
.
Источник: Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966. — № 9, с. 35
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — с. 31
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.110, с. 119
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.133, с. 117
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 1998-1999, финальный этап, задача 3, 12 класс