16469. Окружность, вписанная в четырёхугольник ACEG
, касается его сторон AC
, CE
, EG
и GA
в точках B
, D
, F
и H
соответственно, причём AB=3
, CD=4
, EF=5
и GH=6
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \sqrt{19}
.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, C
, E
и G
данного четырёхугольника равны 2\alpha
, 2\beta
, 2\gamma
и 2\delta
соответственно, O
— центр окружности, r
— радиус. Тогда углы при вершинах A
, C
E
и G
прямоугольных треугольников ABO
, CDO
, EFO
и GHO
равны соответственно \alpha
, \beta
, \gamma
и \delta
(см. задачу 1724), а так как
2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=360^{\circ},
то
\alpha+\beta=-(\gamma+\delta)~\Rightarrow~\tg(\alpha+\beta)=-\tg(\gamma+\delta)~\Rightarrow~\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}=\frac{\tg\gamma+\tg\delta}{\tg\gamma\tg\delta-1}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{\frac{r}{3}+\frac{r}{4}}{1-\frac{r}{3}\cdot\frac{r}{4}}=\frac{\frac{r}{5}+\frac{r}{6}}{\frac{r}{5}\cdot\frac{r}{6}-1}~\Rightarrow~\frac{7r}{12-r^{2}}=-\frac{11r}{30-r^{2}}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{7}{12-r^{2}}=-\frac{11}{30-r^{2}}~\Rightarrow~18r^{2}=342~\Rightarrow~r^{2}=19.
Следовательно, r=\sqrt{19}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1984, том 57, № 4, задача Q694, с. 238 и 242