16470. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
. Лучи AP
, BP
и CP
пересекают стороны BC
, CA
и AB
в точках L
, M
и N
соответственно. Докажите, что если треугольники APN
, BPL
и CPM
равновелики, то P
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Решение. Первый способ. Обозначим \frac{AN}{NB}=p
, \frac{BL}{LC}=q
и \frac{CM}{MA}=r
. Тогда
\frac{S_{\triangle ABL}}{S_{\triangle ALC}}=q=\frac{S_{\triangle BPL}}{S_{\triangle CPL}},
а так как S_{\triangle APN}=S_{\triangle CPM}
, то
q=\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle APC}}=\frac{\frac{p+1}{p}S_{\triangle APN}}{\frac{r+1}{r}S_{\triangle CPM}}=\frac{r(p+1)}{p(r+1)}.
Аналогично,
r=\frac{p(q+1)}{q(p+1)},~p=\frac{q(r+1)}{r(q+1)}.
Перемножив эти три равенства, получим
pqr=1.
(Этот же результат можно получить, применив теорему Чевы.)
Тогда
q=\frac{r(p+1)}{p(r+1)}~\Rightarrow~qpr+qp=rp+r~\Rightarrow~1+pq=rp+r.
Аналогично,
1+qr=pq+p,~1+rp=qr+q.
Сложив эти три равенства, получим
p+q+r=3.
Значит (см. примечание к задаче 3399),
3=p+q+r\geqslant3\sqrt[{3}]{{pqr}}=3,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда p=q=r=1
, т. е. тогда и только тогда, когда N
, L
и M
— середины сторон треугольника ABC
. Следовательно, P
— точка пересечения медиан треугольника. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Обозначим
S_{\triangle APN}=S_{\triangle BPL}=S_{\triangle CPM}=x,S_{\triangle APM}=a,~S_{\triangle BPN}=b,~S_{\triangle CPL}=c;
\angle APN=\alpha,~\angle BPN=\beta,~\angle CPL=\gamma.
Тогда
x^{3}=\left(\frac{1}{2}PA\cdot PN\sin\alpha\right)\left(\frac{1}{2}PB\cdot PL\sin\gamma\right)\left(\frac{1}{2}PC\cdot PM\sin\beta\right)=
=\left(\frac{1}{2}PM\cdot PA\sin\gamma\right)\left(\frac{1}{2}PN\cdot PB\sin\beta\right)\left(\frac{1}{2}PL\cdot PC\sin\alpha\right)=abc.
Без ограничения общности будем считать, что a\geqslant b\geqslant c
. Тогда a\geqslant x\geqslant c
.
Действительно, если x\gt a
, то
x^{3}\gt a^{3}~\Rightarrow~abc\gt a^{3}~\Rightarrow~bc\gt a^{2},
что невозможно, так как b\leqslant a
и c\leqslant a
. Следовательно, x\leqslant a
. Аналогично докажем, что x\geqslant c
.
Поскольку
\frac{BL}{LC}=\frac{S_{\triangle BPL}}{S_{\triangle CPL}}=\frac{S_{\triangle ABL}}{S_{\triangle ACL}},
то
\frac{x}{c}=\frac{2x+b}{a+x+c}=\frac{2x+b-x}{a+x+c-c}=\frac{x+b}{x+a}.
Поскольку
\frac{x}{c}\geqslant1~\mbox{и}~\frac{x+b}{x+a}\leqslant1,
то
\frac{x}{c}=\frac{x+b}{x+a}=1,
значит, x=c
и a=b
, а так как abc=x^{2}
, то a=b=c=x
. Тогда BL=LC
и CM=MA
. Следовательно, AL
и BM
— медианы треугольника ABC
, а P
— точка пересечения медиан этого треугольника. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1984, том 57, № 5, задача 1181, с. 304; 2001, том 74, № 5, задача 1611, с. 407