16471. Диагонали трапеции ABCD
с основаниями AB
и CD
пересекаются в точке O
. Прямая, проходящая через точку O
параллельно основаниям, пересекает боковые стороны BC
и AD
точках E
и F
соответственно. Прямые BD
и CF
пересекаются в точке H
. Прямая, проходящая через точку H
параллельно AB
и CD
, пересекает диагональ AC
в точке G
. Докажите, что точки D
, G
и E
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим AB=a
и CD=b
. Тогда OE=OF=\frac{ab}{a+b}
(см. задачу 1512), поэтому
\frac{OH}{HD}=\frac{OF}{CD}=\frac{\frac{ab}{a+b}}{b}=\frac{a}{a+b}.
Пусть прямая DG
пересекается с прямой EF
в точке E'
. Треугольник OGE'
подобен треугольнику CGD
с коэффициентом
\frac{OG}{GC}=\frac{OH}{HD}=\frac{a}{a+b},
поэтому
OE'=\frac{a}{a+b}\cdot CD=\frac{ab}{a+b}=OE.
Значит, точка E'
совпадает с E
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1985, том 58, № 3, задача Q967, с. 183