1648. Докажите, что в описанном четырёхугольнике с перпендикулярными диагоналями одна из диагоналей является осью симметрии, а значит, равны между собой симметричные ей соседние стороны.
Решение. Рассмотрим случай, когда AB\gt BC
.
Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны (см. задачу 310), также равны суммы квадратов противоположных сторон четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями (см. задачу 1344), поэтому
\syst{AB+CD=BC+AD\\AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}\\}~\Leftrightarrow~\syst{AB-BC=AD-CD\\AB^{2}-BC^{2}=AD^{2}-CD^{2}\\}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\syst{AB-BC=AD-CD\\(AB-BC)(AB+BC)=(AD-CD)(AD+CD)\\}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\syst{AB-BC=AD-CD\\(AB-BC)(AB+BC)=(AB-BC)(AD+CD),\\}
а так как AB\gt BC
, получаем систему
\syst{AB-BC=AD-CD\\AB+BC=AD+CD),\\}
из которой находим, что AB=AD
и BC=CD
.
Точки A
и C
равноудалены от концов отрезка BD
, значит, прямая AC
— серединный перпендикуляр к этому отрезку, т. е. его ось симметрии. Следовательно, AC
— ось симметрии данного четырёхугольника.