16481. Из каждой вершины ромба проведены лучи, делящие углы ромба на четыре равные части. Докажите, что точки пересечения соседних лучей, проведённых из вершин смежных углов ромба, пересекаются в вершинах квадрата.
Решение. Пусть O
— центр ромба ABCD
, а P
, Q
, R
и S
— точки пересечения биссектрис равных прямоугольных треугольников AOB
, COB
, COD
и AOD
соответственно. Требуется доказать, что PQRS
— квадрат.
Из равенства прямоугольных треугольников AOB
и COB
следует, что лучи AP
и CQ
пересекают диагональ BD
ромба в одной и той же точке M
. Биссектрисы BP
и BQ
равных треугольников ABM
и CBM
делят стороны AM
и CM
в одном и то же отношении, поэтому PQ\parallel AC
. Аналогично, PS\parallel BD
. Значит, \angle SPQ=90^{\circ}
. Аналогично, остальные углы четырёхугольника PQRS
равны 90^{\circ}
. Следовательно, это прямоугольник. Его центр совпадает с центром O
ромба.
Поскольку P
и Q
— точки пересечения биссектрис треугольников AOB
и COB
, лучи OP
и OQ
— биссектрисы смежных прямых углов AOB
и COB
. Значит, \angle QOP=90^{\circ}
. Следовательно, прямоугольник PQRS
— квадрат. Что и требовалось доказать.
Примечание. Доказанное утверждение — своеобразный аналог теоремы Морлея (см. задачу 6125) для ромба.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1990, том 63, № 5, задача 1333, с. 352