16482. Попарно различные компланарные векторы \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
, \overrightarrow{c}
и \overrightarrow{d}
единичной длины удовлетворяют условию
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}.
Докажите, что
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=0.
Решение. От центра O
единичной окружности отложим векторы
\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}.
Пусть точки A
, B
, C
и D
лежат на этой окружности в указанном порядке.
Из условия задачи получаем
(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=
=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d})-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})=0,
или \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0
. Это значит, что AC\perp BD
, причём все четыре точки A
, B
, C
и D
не лежат на одной полуокружности.
Обозначим
\angle AOB=\alpha,~\angle BOC=\beta,~\angle COD=\gamma,~\angle DOA=\delta.
Тогда для меньших дуг AB
, BC
, CD
и DA
верно равенство
90^{\circ}=\frac{\smile AB+\smile CD}{2}
(см. задачу 26), откуда
\alpha+\delta=180^{\circ}.
Следовательно, учитывая, что \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
, \overrightarrow{c}
и \overrightarrow{d}
— единичные векторы, получаем
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\alpha+|\overrightarrow{c}|\cdot|\overrightarrow{d}|\cdot\cos\delta=
=\cos\alpha+\cos\delta=\cos\alpha+\cos(180^{\circ}-\alpha)=0.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1991, том 64, № 1, задача Q774, с. 61 и 67