16485. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
. Прямая PA
пересекает окружность в двух точках. Пусть X
— ближайшая из них к вершине A
. Аналогично определяются точки Y
и Z
прямых PB
и PC
соответственно. Докажите, что отрезки DX
, EY
и FZ
пересекаются в одной точке.
Решение. Обозначим
\angle XDF=\delta_{1},~\angle XDE=\delta_{2},~\angle XAE=\alpha_{1},~\angle XAF=\alpha_{2}.
По теореме об угле между касательной и хордой
\angle XFA=\angle XDF=\delta_{1},~\angle XEA=\angle XDE=\delta_{2}.
По теореме синусов из треугольников DXF
и DXE
получаем
\frac{DX}{\sin\angle DFX}=\frac{FX}{\sin\delta_{1}}~\mbox{и}~\frac{DX}{\sin\angle DEX}=\frac{DX}{\sin(180^{\circ}-\angle DFX)}=\frac{EX}{\sin\delta_{2}},
откуда
\frac{FX}{EX}=\frac{\sin\delta_{1}}{\sin\delta_{2}}.\eqno(1)
По теореме синусов из треугольников AXF
и AXE
получаем
\frac{FX}{\sin\alpha_{2}}=\frac{AX}{\sin\delta_{1}}~\mbox{и}~\frac{EX}{\sin\alpha_{1}}=\frac{AX}{\sin\delta_{2}},
откуда
\frac{FX}{EX}=\frac{\sin\alpha_{1}\sin\delta_{2}}{\sin\alpha_{2}\sin\delta_{1}}.\eqno(2)
Из (1) и (2) получаем, что
\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}=\frac{\sin^{2}\delta_{1}}{\sin^{2}\delta_{2}}.
Обозначив
\angle YED=\epsilon_{1},~\angle YEX=\epsilon_{2},~\angle YBF=\beta_{1},~\angle YBD=\beta_{2},
\angle ZFX=\varphi_{1},~\angle ZFD=\varphi_{2},~\angle ZCD=\gamma_{1},~\angle ZCE=\gamma_{2},
получим, что
\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}=\frac{\sin^{2}\epsilon_{1}}{\sin^{2}\epsilon_{2}}~\mbox{и}~\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}=\frac{\sin^{2}\varphi_{1}}{\sin^{2}\varphi_{2}}.
Тогда по теореме Чевы в тригонометрической форме (см. задачу 1900)
1=\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}\cdot\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin^{2}\gamma_{2}}=\frac{\sin^{2}\delta_{1}}{\sin^{2}\delta_{2}}\cdot\frac{\sin^{2}\epsilon_{1}}{\sin^{2}\epsilon_{2}}\cdot\frac{\sin^{2}\varphi_{1}}{\sin^{2}\varphi_{2}}=\left(\frac{\sin\delta_{1}}{\sin\delta_{2}}\cdot\frac{\sin\epsilon_{1}}{\sin\epsilon_{2}}\cdot\frac{\sin\varphi_{1}}{\sin\varphi_{2}}\right)^{2}.
Значит,
\frac{\sin\delta_{1}}{\sin\delta_{2}}\cdot\frac{\sin\epsilon_{1}}{\sin\epsilon_{2}}\cdot\frac{\sin\varphi_{1}}{\sin\varphi_{2}}=1.
Следовательно (см. задачу 1900), отрезки DX
, EY
и FZ
пересекаются в одной точке.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1992, том 65, № 1, задача 1364, с. 59