16487. Равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной a
, вписана в единичную окружность. Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до центра окружности равно b
, а диагонали делятся точкой пересечения на отрезки, равные x
и y
(x\lt y
). Докажите, что y-x=ab
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
трапеции ABCD
с основаниями AD\lt BD
и боковыми сторонами AB=CD=a
пересекаются в точке E
, AE=DE=x
, CE=BE=y
и OE=b
.
Заметим, что угол AOE
равен половине центрального угла AOD
, а ABD
— вписанный угол, соответствующий центральному углу AOD
, поэтому
\angle AOE=\angle ABD=\angle ABE.
Значит, четырёхугольник ABOE
вписанный.
По теореме Птолемея (см. задачу 130)
AO\cdot BE=AE\cdot BO+AB\cdot OE,~\mbox{или}~1\cdot y=x\cdot1+a\cdot b.
Следовательно,
y-x=ab.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1994, том 67, № 1, задача Q816, с. 68 и 74