1649. На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия EF
и опущен перпендикуляр OK
из точки O
пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стёрли. Как восстановить чертёж по сохранившимся отрезкам EF
и OK
?
Решение. Первый способ. Предположим, что нужная трапеция ABCD
построена. Пусть точки E
и F
— середины её боковых сторон AB
и CD
, K
— проекция точки O
пересечения диагоналей AC
и BD
на основание AD
. Если Q
— точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, то прямая QO
пересекает отрезки BC
, EF
и AD
соответственно в их серединах L
, M
и N
(см. задачу 1513). Рассмотрим случай, когда данные отрезки EF
и OK
пересекаются в некоторой точке G
, причём OG\lt KG
.
Ясно, что для решения задачи достаточно построить точку Q
на известной прямой MO
. Пусть H
— точка пересечения прямой OK
с основанием BC
. Тогда
\frac{QL}{QN}=\frac{BL}{AN}=\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{OD}=\frac{OH}{OK}.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку H
, симметричную точке K
относительно прямой EF
; через точки K
и H
проводим прямые l
и m
, параллельные EF
; находим точки L
и N
пересечения этих прямых с прямой MO
, где M
— середина отрезка EF
; на продолжении отрезка NL
за точку L
откладываем такой отрезок LQ
, что \frac{LQ}{QN}=\frac{OH}{OK}
.
Пусть прямая QE
пересекает прямые l
и m
соответственно в точках A
и B
, а прямая QF
— в точках D
и C
. Тогда ABCD
— искомая трапеция.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Второй способ. (Построение трапеции).
Проведём через данную точку K
прямую l
, параллельную данному отрезку EF
. Найдём точку N
пересечения прямой l
с прямой, проходящей через данную точку O
и середину M
отрезка EF
. Построим параллелограмм с вершинами E
, N
и F
, для которого отрезок EF
является диагональю. Обозначим его четвёртую вершину через L
. Проведём через неё прямую m
, параллельную l
. Затем проведём через точку O
прямые, параллельные сторонам параллелограмма ENFL
. Точки, в которых эти прямые пересекают прямые l
и m
, являются вершинами искомой трапеции.
Источник: Журнал «Квант». — 1971, № 7, с. 23, М95
Источник: Задачник «Кванта». — М95
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 8.51, с. 204
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.52, с. 200