16501. Найдите t
, если
\sqrt{\frac{t^{3}+a^{3}}{t+a}}+\sqrt{\frac{t^{3}+b^{3}}{t+b}}=\sqrt{\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}},
где 0\lt a\lt b
.
Ответ. t=\frac{ab}{a+b}
.
Решение. Рассмотрим треугольник PQR
со сторонами PQ=a
, QR=b
и углом 120^{\circ}
при вершине Q
. Пусть T
— точка на биссектрисе его угла PQR
. По теореме косинусов
PR=\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}},~PT=\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}},~RT=\sqrt{a^{2}-bt+t^{2}}.
Заметим, что равенство из условия равносильно равенству PT+RT=PR
, которое выполняется тогда и только тогда, когда T
— основание биссектрисы треугольника PQR
, проведённой из вершины Q
, т. е. (см. задачу 4021)
t=QT=\frac{2QP\cdot QR\cos\frac{1}{2}\angle PQR}{QP+QR}=\frac{2ab\cos60^{\circ}}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1997, том 70, № 4, задача Q869, с. 299 и 307