16512. Пусть T
— множество всех треугольников ABC
, для которых
5\left(\frac{1}{AP}+\frac{1}{BQ}+\frac{1}{CR}\right)-\frac{3}{\min\{AP,BQ,CR\}}=\frac{6}{r},
где r
— радиус вписанной окружности, а P
, Q
и R
— точки касания вписанной окружности со сторонами AB
, BC
и CA
соответственно. Докажите, что все треугольники из T
равнобедренные и подобны друг другу.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда (см. задачу 4438)
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=1.
Без ограничения общности будем считать, что \min\{AP,BQ,CR\}=AP
. Обозначим
\tg\frac{\alpha}{2}=x,~\tg\frac{\beta}{2}=y,~\tg\frac{\gamma}{2}=z.
Пусть I
— центр вписанной окружности. Тогда из прямоугольных треугольников API
, BQI
и CRI
получаем
AP=\frac{r}{x},~BQ=\frac{r}{y},~CR=\frac{r}{z},
а данное равенство примет вид
2x+5y+5z=6.
Кроме того, по приведённому в начале решения тождеству
xy+yz+zx=1.
Исключая x
из этих равенств и выделяя полные квадраты, получаем равенство
(3y-1)^{2}+(3z-1)^{2}=4(y-z)^{2},~\mbox{или}~5u^{2}+8uv+5v^{2}=0,
где
3y-1=u,~3z-1=v~\left(\mbox{т. е.}~y=\frac{u+1}{3},~z=\frac{v+1}{3}\right).
Поскольку дискриминант левой части равен
8^{2}-4\cdot25\lt0,
единственное его решение — u=v=0
, откуда
\tg\frac{\beta}{2}=y=\frac{1}{3},~\tg\frac{\gamma}{2}=z=\frac{1}{3},
\tg\frac{\alpha}{2}=x=\frac{1}{2}(6-5y-5z)=\frac{1}{2}\left(6-\frac{5}{3}-\frac{5}{3}\right)=\frac{4}{3}.
По формуле \sin\varphi=\frac{2\tg\frac{\varphi}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\varphi}{2}}
находим, что
\sin\alpha=\frac{24}{25},~\sin\beta=\sin\gamma=\frac{3}{5}.
Значит, по теореме синусов
\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{CA}{\sin\beta}=\frac{AB}{\sin\gamma}~\mbox{или}~\frac{BC}{8}=\frac{CA}{5}=\frac{AB}{5}.
Следовательно, все треугольники из T
подобны равнобедренному треугольнику со сторонами 5, 5 и 8. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2001, том 74, № 2, задача 3, с. 164 и 165
Источник: Математические олимпиады США. —