16517. Два треугольника гомотетичны с положительным коэффициентом гомотетии, причём отношение их площадей равно 4, а вписанная окружность одного из них совпадает с описанной окружностью другого. Докажите, что треугольники равносторонние.
Решение. Пусть стороны большего треугольника равны a
, b
и c
, радиусы описанной и вписанной окружностей равны R
и r
соответственно, площадь равна S
; соответственные стороны меньшего треугольника равны a'
, b'
и c'
, а его площадь равна S'
. Тогда радиус описанной окружности меньшего треугольника равен r
, значит,
\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'},~S=\frac{abc}{4R},~S'=\frac{a'b'c'}{4r}
(см. задачу 4259). Следовательно,
4=\frac{S}{S'}=\frac{\frac{abc}{4R}}{\frac{a'b'c'}{4r}}=\frac{a}{a'}\cdot\frac{b}{b'}\cdot\frac{c}{c'}\cdot\frac{r}{R}=2\cdot2\cdot2\cdot\frac{r}{R}=8\cdot\frac{r}{R},
откуда R=2r
.
Известно, что в любом треугольнике R\geqslant2r
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (см. задачу 3587). Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2002, том 75, № 3, задача Q922, с. 228