16522. Точки F
и G
лежат на стороне AB
треугольника ABC
, причём F
между G
и A
. Точки D
и E
лежат на стороне AC
, причём E
между D
и A
. Докажите, что если треугольники BDE
и CGF
подобны, то четырёхугольник DEFG
— трапеция.
Решение. Из подобия треугольников BDE
и CGF
следует, что \angle BDE=\angle CGF
, поэтому
\angle BDC=180^{\circ}-\angle BDE=180^{\circ}-\angle CGF=\angle CGB.
Из точек D
и G
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом, значит, четырёхугольник BCDG
вписанный (см. задачу 12). Тогда
\angle GDC=180^{\circ}-\angle ABC.
Аналогично, четырёхугольник BCEF
вписанный, поэтому
\angle FEC=180^{\circ}-\angle ABC.
Следовательно, \angle GDC=\angle FEC
, поэтому прямые FE
и GD
параллельны, а так как прямые DE
и GF
пересекаются, то DEFG
— трапеция. Что и требовалось доказать
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2003, том 76, № 4, задача 1653, с. 319-320