16532. Точки A'
, B'
и C'
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, а отрезки AA'
, BB'
и CC'
проходят через одну точку. Докажите, что если A'B'=A'C'
и BC'=CB'
, то треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Достаточно доказать, что AC'=AB'
, так как тогда
AB=AC'+CB'=AB'+BC'=AC.
Предположим, что AB'\gt AC'
. Тогда \angle AC'B'\gt\angle AB'C'
(см. задачу 3499). Опустим перпендикуляры BB_{1}
, A'M
и CC_{1}
из точек B'
, M
и C
на прямую B'C'
. Поскольку A'B'=A'C'
, то M
— середина стороны B'C'
равнобедренного треугольника A'B'C'
, поэтому M
— середина отрезка B'C'
. Тогда
C_{1}M=C_{1}B'+B'M=B'C\cos\angle AB'C'+B'M\lt
\lt BC'\cos\angle AC'B'+C'M=B_{1}C'+C'M=B_{1}M.
Значит,
\frac{BA'}{A'C}=\frac{B_{1}M}{MC_{1}}\lt1.
Учитывая, что CB'=C'B
и B'A\gt AC'
, получим
\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}\cdot\frac{AC'}{C'B}=\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{AC'}{B'A}\lt1\cdot1=1,
т. е.
\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}\cdot\frac{AC'}{C'B}\lt1,
что противоречит теореме Чевы. Аналогично для AB'\lt AC'
.
Следовательно, AB'=AC'
. Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2008, том 81, № 3, задача 1771, с. 221