16538. Через вершину A
треугольника ABC
проведена прямая l
, параллельная стороне BC
. Биссектриса угла ABC
пересекает сторону AC
и прямую l
в точках B'
и B''
соответственно. Биссектриса угла ACB
пересекает сторону AB
и прямую l
в точках C'
и C''
соответственно. Докажите, что если радиусы описанных окружностей треугольников AB'B''
и AC'C''
равны, то AB=AC
.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Из параллельности
\angle AB''B=\angle CBB''=\angle ABB''=\frac{\beta}{2}~\mbox{и}~\angle AC''C=\angle BCC''=\angle ACC''=\frac{\gamma}{2}.
По теореме синусов получаем, что радиусы описанных окружностей треугольников AB'B''
и ABB''
равны, так как оба они равны
\frac{AB'}{2\sin\angle AB''B}=\frac{AB'}{2\sin\frac{\beta}{2}}~\mbox{и}~\frac{AB'}{2\sin\angle B''BA}=\frac{AB'}{2\sin\frac{\beta}{2}}.
Аналогично равны радиусы описанных окружностей треугольников AC'C''
и AC'C
, а так как по условию равны радиусы описанных окружностей треугольников AB'B''
и AC'C''
, то
\frac{BB'}{\sin\alpha}=\frac{CC'}{\sin\alpha}~\Rightarrow~BB'=CC'.
Следовательно, по теореме Штейнера—Лемуса (см. задачу 128) AB=AC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2010, том 83, № 5, задача Q1005, с. 307