16543. Точка I
— центр вписанной окружности \omega
неравнобедренного треугольника ABC
; X
, Y
и Z
— точки касания \omega
со сторонами BC
, CA
и AB
соответственно, а X'
, Y'
и Z'
— отличные от X
, Y
и Z
точки пересечения \omega
с описанными окружностями треугольников AIX
, BIY
и CIZ
соответственно. Докажите, что прямые AX'
, BY'
и CZ'
пересекаются в одной точке.
Решение. Отрезки IX
и IX'
равны как радиусы окружности \omega
, поэтому равны вписанные углы описанной окружности треугольника AIX
, опирающиеся на хорды IX
и IX'
, т. е. \angle XAI=\angle IAX'
. Поскольку AI
— биссектриса угла BAC
, прямые AX
и AX'
симметричны относительно содержащей её прямой AI
. Аналогично, BY
и BY'
симметричны относительно прямой BI
, а CZ
и CZ'
— относительно прямой CI
. Таким образом, прямые AX'
, BY'
и CZ'
изогональны прямым соответственно AX
, BY
и CZ
.
Прямые AX
, BY
и CZ
пересекаются в одной точке — точке Жергонна треугольника ABC
(см. задачу 1552), следовательно, изогональные им прямые AX'
, BY'
и CZ'
тоже пересекаются в одной точке (см. задачу 10176). Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2012, том 85, № 1, задача 1864, с. 66