16559. Четырёхугольник APBQ
с прямыми углами при вершинах P
и Q
вписан в окружность \omega
, причём AP=AQ\lt BP
. X
— произвольная точка отрезка PQ
, а луч AX
пересекает \omega
в точке S
. Точка T
лежит на дуге AQB
окружности \omega
, причём XT\perp AX
, а точка M
— середина хорды ST
. Докажите, что если точка X
перемещается по отрезку PQ
, то точка M
перемещается по некоторой фиксированной окружности.
Решение. Пусть O
— центр окружности \omega
, W
— середина отрезка AO
, а \Omega
— окружность с центром W
и радиусом WP
. Докажем, что WM=WP
. Это будет означать, что утверждение задачи доказано, т. е. точка M
лежит на фиксированной окружности окружности \Omega
.
Пусть радиус окружности \omega
равен r
. По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4041) из треугольников APO
, SWT
, ASO
и ATO
получаем
4WP^{2}=2AP^{2}+2OP^{2}-AO^{2}=2AP^{2}+r^{2},
4WM^{2}=2WS^{2}+2WT^{2}-ST^{2},
2WS^{2}=AS^{2}+OS^{2}-\frac{1}{2}AO^{2}=AS^{2}+\frac{r^{2}}{2},
2WT^{2}=AT^{2}+OT^{2}-\frac{1}{2}AO^{2}=AT^{2}+\frac{r^{2}}{2}.
Сложив три последние формулы, получим
4WM^{2}+2WS^{2}+2WT^{2}=(2WS^{2}+2WT^{2}-ST^{2})+\left(AS^{2}+\frac{r^{2}}{2}\right)+\left(AT^{2}+\frac{r^{2}}{2}\right),
или
4WM^{2}=AS^{2}+AT^{2}-ST^{2}+r^{2}.
Тогда
WM=WP~\Leftrightarrow~4WM^{2}=4WP^{2}~\Leftrightarrow~AS^{2}+AT^{2}-ST^{2}=2AP^{2}.
Поскольку XT\perp AS
, получаем
AT^{2}-ST^{2}=(AX^{2}+XT^{2})-(SX^{2}+XT^{2})=AX^{2}-SX^{2}=
=(AX+SX)(AX-SX)=AS(AX-SX).
Тогда
AS^{2}+AT^{2}-ST^{2}=AS^{2}+(AT^{2}-ST^{2})=AS^{2}+AS(AX-SX)=
=AS(AS+AX-SX)=AS(AS+AX-(AS-AX))=2AS\cdot AX,
а так как треугольники APX
и ASP
подобны (\angle PAX=\angle SAP
и \angle APX=\angle APQ=\angle ASP
как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды AQ
и AP
), то \frac{AP}{AS}=\frac{AX}{AP}
, или AP^{2}=AS\cdot AX
. Значит,
AS^{2}+AT^{2}-ST^{2}=2AS\cdot AX=2AP^{2}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2015, том 88, № 4, задача 2, с. 296
Источник: Математические олимпиады США. —