16562. На сторонах правильного пятиугольника ABCDE
построены равносторонние треугольники BCP
и DEQ
, причём точка P
лежит внутри пятиугольника, а точка Q
— вне. Найдите отношение \frac{PQ}{AB}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть стороны пятиугольника равны 2. От луча CB
в полуплоскость, содержащую вершину D
, отложим луч под углом 36^{\circ}
. На этом луче отложим отрезок CR=2
. Поскольку треугольник CPR
равнобедренный, а углы правильного пятиугольника равны 108^{\circ}
, то
\angle CRP=\angle CPR=72^{\circ},~\angle DCR=108^{\circ}-60^{\circ}-36^{\circ}=12^{\circ},
\angle CDQ=108^{\circ}+60^{\circ}=168^{\circ}.
Тогда
\angle CDQ+\angle DCR=168^{\circ}+12^{\circ}=180^{\circ},
поэтому DQ\parallel CR
, а так как DQ=CD=CR
, то CDQR
— ромб со стороной 2.
Из равнобедренного треугольника CPR
находим, что
PR=2CR\sin18^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\sqrt{5}-1,
(см. задачу 1494).
В то же время,
\angle PRQ=360^{\circ}-72^{\circ}-168^{\circ}=120^{\circ}.
По теореме косинусов
PQ^{2}=PR^{2}+QR^{2}-2PR\cdot QR\cos120^{\circ}=(\sqrt{5}-1)^{2}+4+2\cdot(\sqrt{5}-1)\cdot2\cdot\frac{1}{2}=8.
Следовательно,
\frac{PQ}{PR}=\frac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2017, том 90, № 2, задача Q1069, с. 145