16566. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором \angle ABC=138^{\circ}
, \angle BAD=108^{\circ}
и AB=AD=BC\sqrt{3}
. Найдите углы ADC
и BCD
.
Ответ. 54^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что BC=2
. Тогда AB=AD=2\sqrt{3}
.
Рассмотрим правильный пятиугольник BADFE
со стороной 2\sqrt{3}
. Его углы равны \frac{1}{5}\cdot180^{\circ}(5-2)=108^{\circ}
(см. задачу 1198). Тогда
\angle CBE=\angle ABC-\angle ABE=138^{\circ}-108^{\circ}=30^{\circ}.
Путь H
— середина H
стороны BE
построенного пятиугольника. Тогда прямая DH
— его ось симметрии, поэтому BH\perp DH
. Поскольку
\frac{BH}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos30^{\circ},
то треугольник BHC
прямоугольный с прямым углом при вершине H
, поэтому точка C
лежит на прямой DH
, и тогда
\angle BCD=\angle BCH=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.
а так как DC
— биссектриса угла ADF
, то
\angle ADC=\frac{1}{2}\angle ADF=\frac{1}{2}\cdot108^{\circ}=54^{\circ}.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2017, том 90, № 5, задача 2001, с. 384