1657. Точки D
и E
делят стороны AC
и AB
правильного треугольника ABC
в отношениях \frac{AD}{DC}=\frac{BE}{EA}=\frac{1}{2}
. Прямые BD
и CE
пересекаются в точке O
. Докажите, что угол AOC
— прямой.
Указание. Пусть F
— такая точка на стороне BC
, что \frac{CF}{FB}=\frac{1}{2}
, а прямая AF
пересекает отрезки BD
и CE
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что OM=MN=MA
.
Решение. Пусть F
— такая точка на стороне BC
, что \frac{CF}{FB}=\frac{1}{2}
. Если прямая AF
пересекает отрезки BD
и CE
в точках M
и N
соответственно, то треугольник OMN
— также равносторонний. Поэтому OM=MN
.
Через вершину A
проведём прямую, параллельную стороне BC
. Пусть продолжение отрезка BD
пересекает эту прямую в точке P
. Из подобия треугольников PDA
и BDC
следует, что PA=\frac{1}{2}BC
, а из подобия треугольников PMA
и BMF
—
\frac{AM}{MF}=\frac{PA}{BF}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{2}{3}BC}=\frac{3}{4}.
Аналогично докажем, что \frac{AN}{NF}=6
. Поэтому AM:MN:NF=3:3:1
. Следовательно, OM=MN=MA
. Значит, треугольник AON
— прямоугольный, \angle AON=90^{\circ}
(см. задачу 1188).