16572. Дан описанный четырёхугольник ABCD
с тупым углом ABC
. Лучи AB
и DC
пересекаются в точке P
, а лучи DA
и CB
— в точке Q
. Докажите, что |AD-CD|\geqslant|r_{1}-r_{2}|
, где r_{1}
и r_{2}
— радиусы вписанных окружностей треугольников PBC
и QAB
.
Решение. Положим T_{1}
и T_{2}
— точки касания вписанных окружностей треугольников PBC
и QAB
со сторонами BC
и AB
соответственно, K
и L
— точки касания вписанной окружности четырёхугольника ABCD
со сторонами BC
и AB
соответственно, а I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников PBC
и QAB
соответственно (см. рис.).
По свойству описанного четырёхугольника
AB+CD=BC+AD,
поэтому
|AD-CD|=|AB-BC|.
Обозначим \angle PBC=\angle QBA=\alpha
. Из прямоугольных треугольников BI_{1}T_{1}
и BI_{2}T_{2}
получаем,
r_{1}=BT_{1}\tg\frac{\alpha}{2}~\mbox{и}~r_{2}=BT_{2}\tg\frac{\alpha}{2},
откуда
|r_{1}-r_{2}|=|BT_{1}-BT_{2}|\tg\frac{\alpha}{2}\leqslant|BT_{1}-BT_{2}|,
так как \angle PBC\lt90^{\circ}
.
Заметим, что BL=BK
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, а BK=CT_{1}
(см. задачу 4805), так как T_{1}
и K
— точки касания со стороной BC
вписанной и вневписанной окружностей треугольника PBC
. Аналогично, BL=AT_{2}
. Тогда
AT_{2}=BL=BK=CT_{1}.
Следовательно,
|AD-CD|=|BC-AB|=|(BT_{1}+CT_{1})-(BT_{2}+AT_{2})|=
=|(BT_{1}-BT_{2})+(CT_{1}-AT_{2}|=|BT_{1}-BT_{2}|\geqslant|r_{1}-r_{2}|.
Что и требовалось доказать.
Автор: Шатунов Л. М.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2024, LXXXVII, 10 класс, задача 4