16576. В выпуклом n
-угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого n
-угольника равны 63^{\circ}
и 97^{\circ}
. Какое наибольшее значение может принимать n
?
Ответ. 162.
Решение. Сумма всех внешних углов многоугольника равна 360^{\circ}
(см. задачу 1304). Внешние углы к двум данным углам равны
180^{\circ}-63^{\circ}=117^{\circ}~\mbox{и}~180^{\circ}-97^{\circ}=83^{\circ}.
Сумма равна
117^{\circ}+83^{\circ}=200^{\circ}.
Значит, сумма оставшихся внешних углов равна 160^{\circ}
. Поскольку все углы составляют целое число градусов, то любой внешний угол не менее 1^{\circ}
, а значит, оставшихся углов не более 160. Таким образом, всего углов у многоугольника не более 162. Приведём пример 162-угольника, удовлетворяющего условию задачи.
Рассмотрим правильный 360-угольник. Пронумеруем его прямые, на которых лежат его последовательные стороны, числами от 1 до 360. Рассмотрим выпуклый многоугольник, стороны которого лежат на прямых с номерами 1, 118, 201, 202, …, 360 (см. рис.). Последовательные прямые повёрнуты одна относительно другой на угол 1^{\circ}
, поэтому прямая номер 118 повёрнута относительно прямой номер 1 на 117^{\circ}
; эта величина составляет внешний угол, поэтому внутренний будет равен 63^{\circ}
. Аналогично, прямая 201 повёрнута относительно прямой 118 на 83^{\circ}
, поэтому внутренний угол между ними составляет 97^{\circ}
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, 9 класс, школьный этап, задача 5